Самая быстрорастущая функция: Является ли занятой бобр самой быстрорастущей функцией, известной человеку?

Investing.com — После мартовского падения рынков, благодаря беспрецедентным фискальным стимулам центробанков по всему миру, фондовые рынки практически восстановились.
В мае на российском рынке лидерами роста оказались акции энергетических компаний, некоторые из них уже переоценены.
Вершину списка из 10 лучших акций, который составил РБК Quote, заняли акции «Россетей (MCX:)» и их дочерних компаний.
На первом месте префы «Россетей», которые в течение мая прибавили в стоимости 53,30%. Поводом для такого роста послужило объявление дивидендов, которые на момент объявления — 6 мая, обеспечивали доходность 11% по привилегированным бумагам и 7% по обыкновенным. «Обычка» «Россететй» заняла третье место в списке с ростом 28,84%.

Между ними удалось вклиниться привилегированным акциям «Ленэнерго (MCX:)», которые подорожали на 40,81% и заняли второе место. Как напоминает РБК, взлет цены произошел после того, как после двухмесячного перерыва, связанного с реорганизацией компании, акции вернулись на биржу 18 мая.

На четвертом месте бумаги МОЭСК (+15,40%), на пятом — Селигдар (MCX:) (+14,37%), на шестом — ОГК-2 (MCX:) (+13,34%).
Детский мир (MCX:), Роснефть (MCX:), РусГидро (MCX:) и Новороссийский морской торговый порт (MCX:) (НМТП).

Средний рост десяти лучших российских акций составил 21,04%.

При этом мультипликаторы указывают, что акции «Россетей», МОЭСК и РусГидро перекуплены.
Причем, как отмечает РБК, акции МОЭСК могут показать снижение уже в понедельник, 8 июня из-за дивидендного гэпа. Для бумаг «Россетей» еще есть потенциал роста до дивидендной отсечки 10 июня. Акции «Селигдара», ОГК-2 и НМТП сохраняют потенциал дальнейшего роста.

Топ-10 американских акций по доходности в мае возглавил американский модный ритейлер L Brands, который владеет такими брендами как Victoria’s Secret и Bath & Body Works. Однако после того, как было объявлено о продаже Victoria’s Secret акции L Brands потеряли больше половины стоимости на фоне рушившегося рынка и упали ниже $10. Восстанавливаться акции начали после публикации отчетности, когда бренд косметики и парфюмерии Bath & Body Works продемонстрировал уверенный рост, хотя в целом квартал оказался убыточным. Тем не менее, к концу мая акции L Brands выросли на 36,16% до $16,2.

Второе место иностранной части топа заняли акции китайского интернет-магазина JD.com. На фоне всеобщей самоизоляции покупки в интернете выросли и за май бумага показал рост на 26,06%.

Третье место заняли акции платежной системы PayPal с ростом на 26,02%. Еще в апреле PayPal объявила о рекордном увеличении числа пользователей и объема платежей. А после публикации отчетности 6 мая акции PayPal ускорили рост.

Рост популярности онлайн-платежей помог и сервису Square (NYSE:), который за месяц прибавил 24,47% и занял четвертое место в списке.

Далее следуют NVIDIA (+21,47%), ViacomCBS (+20,16%), Cleveland-Cliffs (+19,18%), Baker Hughes (+18,35%), American International (+18,21), Ber Bath & Beyond (+17,45%).

В среднем десять лучших акций, торгующихся на американских торговых площадках, подорожали за май на 22,75%.

Мультипликаторы указывают, что переоцененными являются акции JD.com, Square и NVIDIA. Правда, эти бумаги могут считаться классическими акциями роста и могут продолжить расти..

Все еще недооцененными остаются бумаги ViacomCBS и American International.

Самая быстрорастущая социальная сеть: что делать бизнесу

Вести Hi-Tech сообщают, что, согласно исследованию, в 2018-м году самым скачиваемым приложением из социальных сетей оказалась TikTok — бывшая Musical.ly.

Основной контент в TikTok — короткие музыкальные видео, выкладываемые пользователями.

Приложение могли скачивать чаще аналогов просто потому, что крупнейшие конкуренты уже присутствуют в телефонах большинства людей. Но не похоже, что это лишь эффект низкой базы. Общее количество скачиваний уже превысило 1 млрд. Причем, возможно, превысило существенно.

«Статистика Sensor Tower включает только официальные данные Google Play и App Store. Сторонние Android-магазины, откуда скачивают приложения в Китае, где сервисы Google заблокированы, в расчет не берутся. Так что реально аудитория TikTok намного больше», — уточняется в сообщении Вести Hi-Tech.

Также о серьезности претензий TikTok на позицию новой крупнейшей социальной платформы говорит статистика вовлеченности пользователей. Данные по США показывают, что пользователи проводят в приложении почти столько же времени, сколько пользователи Instagram (46 и 53 минуты в день соответственно).

В России TikTok уже занимает уже 4-е место по показателю проводимого пользователями времени в приложении (после WhatsApp, ВКонтакте и Instagram).

Какой интерес представляет TikTok для бизнеса

Социальные сети с высокой вовлеченностью интересны как место для присутствия бизнес-аккаунтов и размещения рекламы.

В статье для Adindex.ru эксперт по маркетингу Александр Поляков рассказывает, как бренды могут использовать TikTok. Там наиболее эффективны вирусные маркетинговые компании, называемые «hashtag challenge». Для этого необходимо придумать хештег и добавить к нему креативное видео, призывающее всех увидевших поделиться чем-то похожим.

Такой формат уже использовали Coca-Cola и бренд одежды Guess.

В остальном работа с TikTok для бизнеса выглядит сложной, а польза неочевидна. Маркетологи в крупных компаниях пока заняли выжидательную позицию. Брендам трудно просто «присутствовать» из-за специфики контента, ведь самый популярный его вид — подпевание фоновой музыке.

Тем не менее, в январе появились сообщения, что в TikTok замечена первая реклама. Пионером здесь стала американская GrubHub — сервис доставки еды из ресторанов.

Хотя охват обещает быть большим в такой популярной соцсети, компаниям требуется совершенно другие типы креативного контента. Используемые в Instagram или Facebook тут не подойдут.

Поэтому, не похоже, что продвижение через TikTok сейчас следует ставить в приоритет маркетинговой стратегии. Но, если хотите, то готовьте хештеги и выберите песню повеселее.

О быстрорастущих вычислимых функциях

Введение

Эта страница вдохновлена ​​концепцией асимптотической скорости роста функции.

Асимптотическая скорость роста относится к поведению функции при неограниченно большие значения его аргументов. Для функций f (n) одной переменной, асимптотическая скорость роста относится к тому, насколько быстро f (n) растет с увеличением n без связаны, по сравнению с другими функциями. Мы говорим, что функция f (n) имеет большее асимптотический рост, чем функция g (n), или, что то же самое, f (n) доминирует над g (n), если для достаточно большого n f (n)> g (n).Более именно «достаточно большой» означает, что n> M для некоторого фиксированного постоянное значение M, определяемое относительно как f, так и g.

Здесь мы фокусируем свое внимание в первую очередь на быстрорастущих функциях, поэтому мы пропустите некоторые общие функции, которые демонстрируют медленные темпы роста.

Постоянные функции

Простейшей функцией является постоянная функция f (n) = C для некоторой постоянной число C. Это самый медленный темп роста: то есть вообще никакого роста.

Линейные функции

Линейные функции — это функции вида f (n) = An + B, где A и B — константы. Линейные функции — это «следующий шаг вперед» по сравнению с постоянными функции; они представляют собой линейную скорость роста. Линейные наросты характеризующийся тем, что изменение f (n) пропорционально изменению n.

(Примечание: мы пропустили такие функции, как логарифмические функции и квадрат корневые функции, которые, строго говоря, находятся между постоянными функциями и линейные функции в терминах асимптотической скорости роста.Эти функции могут быть видно, что они возникают из инверсий быстрорастущих функций, которые мы обсуждаем ниже. Поскольку нас интересуют быстрорастущих -функций, мы не будем уделите гораздо больше внимания этим обратным функциям.)

Квадратичные функции

Квадратичные функции имеют вид f (n) = An ² + Bn + C, для некоторых константы A, B и C. Эти функции растут асимптотически быстрее, чем любые линейная функция. Поскольку квадратичный член An ² доминирует над значением функции для больших значений n, мы считаем, что все квадратичные функции адекватно отраженный темпом роста функции возведения в квадрат Ан ² .

Учитывая быстрорастущую линейную функцию, такую ​​как f (n) = 1000n, и скромно выглядящую квадратичная функция g (n) = n ² /1000, g в конечном итоге обгонит f, а f никогда больше не догоню. Это верно независимо от того, насколько велик коэффициент f имеет, и независимо от того, насколько мал коэффициент g, пока он не нуль.

Полиномиальные функции

Линейные и квадратичные функции — лишь первые несколько членов большого класс полиномиальных функций. Полиномиальные функции имеют вид P (n) = C _м n ^м + C _м-1 n ^м-1 +… C ₁ n + C ₀ , где C ₀ ,…, C _м являются константы.По соглашению m выбирается так, чтобы C _m было ненулевым. Мы затем назовите m градусов P и напишите deg (P) = m. Для наших целей мы действительно интересуют только многочлены с m≥1 и С _м > 0.

Когда m = 1, функция является линейной функцией, а когда m = 2, это квадратичная функция. функция.

Легко видеть, что для двух полиномиальных функций P (n) и Q (n), P асимптотически растет быстрее, чем Q, если deg (P)> deg (Q), и наоборот. Так как этого свойства каждому многочлену может быть присвоено натуральное число, равное его степень, представляющая скорость его роста.

Экспоненциальные функции

Простейшая экспоненциальная функция имеет вид f (n) = B ⁿ , для некоторая константа B. Мы называем B основанием экспоненциального члена В ^н. .

Показательная функция доминирует над на каждые полиномиальной функции. Нет только она растет быстрее, чем линейная функция, квадратичная функция или четный g (n) = n ¹⁰⁰⁰⁰⁰ ; он превосходит всех полиномиальных функций. Следовательно, мы можем рассматривать экспоненциальную функцию f (n) = B ⁿ как «Суперполином» бесконечной степени.

Экспоненциальные функции не ограничиваются только B ⁿ . Например, можно построить такие функции, как B ^{n 2} , который растет быстрее чем любая функция вида B ⁿ . Фактически, каждый непостоянный член в показатель степени соответствует другому «уровню» экспоненциальная функция, где более высокие уровни растут асимптотически быстрее, чем более низкие уровни. Например, B ^{n 2 + n} растет быстрее, чем В ^{№ 2} .

Фактически, можно также построить вложенных экспонент с доминирующий член формы B ^{B n} , или B ^{B B n} . С точки зрения асимптотической скорости роста, эти функции лежат в верхних пределах класса экспоненциальных функции.

Представительские функции

Обратите внимание, что, поскольку эти экспоненциальные функции доминируют над всеми полиномами функции, мы можем добавить полиномиальную функцию P (n) к экспоненциальной функции f (n) без существенного изменения его асимптотической скорости роста.Следовательно, когда f (n) — экспоненциальная функция, f (n) + P (n), как правило, будет иметь достаточно аналогичное поведение асимптотического роста с f (n), которое мы объединяем в одну и ту же категория.

В общем, так же, как многочлен более высокой степени доминирует над всеми полиномы более низких степеней, так же как экспоненты доминируют над всеми полиномами, и так же, как вложенные экспоненты доминируют над всеми простыми экспонентами и экспоненты менее глубоко вложены, мы можем классифицировать функцию на основе термина или фактор, который больше всего способствует его асимптотической скорости роста.

Например, поскольку b ⁿ доминирует над всеми многочленами, мы можем классифицировать все функции вида b ⁿ + P (n) для некоторого полинома P в того же класса, что и b ⁿ , и позвоните представителю b ⁿ функция в своем классе. Более того, поскольку факторы вида b ^{b n} доминирующие факторы вида b ⁿ , мы можем рассматривать все функции формы f (n) = b ^{b n} c ⁿ + P (n) как принадлежащие тому же класса, с представителем g (n) = b ^{b n} .

С этого момента мы будем рассматривать все примеры функций как относится к классам, к которым относится функция, за исключением случаев, когда контекст указывает иное. Следовательно, когда мы говорим об экспонентах f (n) = b ⁿ , следует понимать, что все функции образуются путем алгебраического комбинирования f (n) с другими функциями с меньшей асимптотической скоростью роста.

Тетрациональные функции

Чтобы по-настоящему выйти за пределы класса экспоненциальных функций, нам нужно использовать арифметическая операция высшего порядка.Вложенные возведения в степень формы n ^{n … n} , где имеется m вхождений n, иногда называют опорными мощностями . Так же, как умножение повторное сложение и возведение в степень повторяется умножение, башни власти повторяются в возведении в степень и соответствуют следующему более высокому порядку операция. Эту операцию иногда называют тетрацией , от до подчеркнуть свое положение в последовательности сложение, умножение, возведение в степень,… .

Существуют различные обозначения для обозначения тетрации, в том числе Стрелка вверх Кнута (n ↑↑ m) и левая рука Руди Ракера надстрочный индекс ( ^m n для n, преобразованного в m). Здесь мы примем более расширяемая нотация и напишите n ⁽⁴⁾ m вместо n, преобразованного в m.

Функции вида f (n) = n ⁽⁴⁾ C для некоторой константы C соответствуют с вложенными экспоненциальными функциями. Эти функции доминируют менее глубоко вложенные (или не вложенные) экспоненциальные функции, но все же могут быть представлены используя только возведение в степень.

Однако функции вида f (n) = B ⁽⁴⁾ n, для некоторой константы B, не могут быть представлены в виде вложенных экспонент с фиксированным числом вложений. Мы классифицируем эти функции как тетрациональных функций. Они доминируют над всеми экспоненциальными функциями, включая вложенные экспоненциальные функции с фиксированный уровень вложенности.

Операционные функции высшего порядка

Причина, по которой мы выбрали обозначение n ⁽⁴⁾ m для тетрации, заключается в том, что мы можем повторить процесс диагонализации . Как умножение — это повторное сложение, возведение в степень — это повторное умножение, а тетрация является повторным возведением в степень, мы можем построить оператор более высокого уровня, который мы Можно назвать пентацией, что соответствует повторной тетрации. Пентация определяется с использованием нотации Кнута со стрелкой вверх как n ⁽⁵⁾ m = n ↑↑↑ m.

Здесь очевидным становится ограничение обозначения стрелки вверх Кнута. К определить операции более высокого порядка, нам нужно использовать индексированный обозначение стрелки вверх.Мы определяем n ⁽ⁱ⁾ м как означающее n ↑ ^и-2 м.

Операции ⁽ⁱ⁾ порождают иерархию арифметических операции, известные как иерархия Гжегорчика . Для каждого i function f (n) = B ⁽ⁱ⁾ n — функция, которая превосходит все функции g (n) = C ^(j) n для j f равен к я. Таким образом, операции высшего порядка порождают иерархию функций, в которой их относительные асимптотические темпы роста упорядочены по их порядку.

Функция Аккермана

Функция Аккермана неизбежно встречается в процессе поиска все более быстрорастущие функции. Есть несколько разных определений, но все они воплощают одну и ту же основную концепцию. Одно определение:

Из этого определения может быть не сразу очевидно, что Аккерманн функция представляет собой скорость асимптотического роста, превышающую каждые операция высшего порядка в иерархии Гжегорчика, до тех пор, пока не будет предпринята попытка вычислить его значения для различных значений m и n.Мы рассмотрим несколько небольших значения m и n, чтобы проиллюстрировать его поведение.

Для m = 0, если мы увеличим n от 0, мы увидим, что A (m, n) принимает значения 1, 2, 3, 4,… соответственно. Другими словами, A (0, n) = n + 1.

Для m = 1, снова позволяя n перебирать первые несколько чисел, мы получаем значения 2, 3, 4, 5,…. Итак, A (1, n) = n + 2. Пока это кажется довольно ручным.

Для m = 2, повторяя n через несколько первых чисел, мы получаем 3, 5, 7, 9, …. Итак, A (2, n) = 2n + 3. Лишь слабая тень грядущего.

Пусть m = 3, и повторите n как обычно. Получаем 5, 13, 29, 61,…. Маленький Анализ показывает, что A (3, n) = 2 ^{n + 3} -3. Теперь истинная сила Функция Аккермана начинает поднимать голову.

Теперь пусть m = 4 и повторите n. Получаем 13 65533, а затем безмерно большой номер, а именно 2 ⁶⁵⁵³⁶ -3. Следующее за ним число настолько велико, что он легко переполняет типичные библиотеки программирования BigNum, предназначенные для обработки большое количество. Он равен 2 ^{2 65536} -3, или, чтобы использовать тетрациональная запись, 2 ⁽⁴⁾ 6-3.В общем, А (4, п) = 2 ⁽⁴⁾ (п + 3) -3.

В общем, значения A (5, n) слишком велики, чтобы их можно было вычислить даже с помощью современный компьютер с большим объемом памяти. При анализе выясняется, что А (5, п) = 2 ⁽⁵⁾ (п + 3) -3.

В общем, A (m, n) = 2 ^(m) (n + 3) -3.

Теперь определим функцию f (n) = A (n, n). Легко видеть, что это функция превзойдет всех функций, соответствующих более высокому порядку операции в иерархии Гжегорчика.Доминирующий фактор в любом из этих Последняя функция имеет вид b ⁽ⁱ⁾ n, где b и i являются постоянными. Но поскольку в f (n) преобладает член 2 ⁽ⁿ⁾ (n + 3) и n будет в конечном итоге превзойти константу i, f (n) в конечном итоге будет преобладать b ⁽ⁱ⁾ n для любой постоянной i.

Следовательно, в некотором смысле f (n) может рассматриваться как соответствующая операционная функция высшего порядка с бесконечным порядком. С этого момента для для удобства мы будем писать A (n) для обозначения унарной функции Аккермана f (n) = A (n, n).

Помимо функции Аккермана

Функция Аккермана далека от асимптотических темпов роста, достижимых рекурсивные (вычислимые) функции. Продолжить можно так:

Определите итерацию функции для произвольной функции f следующим образом:

f ¹ (n) = f (n)
f ^{i + 1} (n) = f (f ⁱ (n))

Теперь, учитывая некоторую функцию f (n), определите связанную функцию @f следующим образом:

@f ₁ (n) = f ⁿ (n)
@f _{i + 1} (n) = @f _i ⁿ (n)
@f (n) = @f _№ (п)

Мы называем @f двойной диагонализацией f.

Мы можем рассматривать @ как «оператор функции», который выполняет двойная диагонализация по ф. Например, возьмем функцию-последователь s (n) = n + 1. Тогда @s (n) = O (A (n)). Другими словами, @ преобразует функцию-преемник в что-то с асимптотической скоростью роста функции Аккермана. Очевидно, @ — очень мощный функциональный оператор; мы можем применить его несколько раз, чтобы получить к темпам роста, значительно превышающим функцию Аккермана.

Согласимся, что когда мы пишем @@ f, мы имеем в виду @ (@ f), а когда мы пишем @@@ f, мы имеем в виду @ (@ (@ (f))) и так далее.Поскольку @s (n) имеет асимптотическую скорость роста функция Аккермана, @@ s (n) должна значительно превосходить функцию Аккермана. функция A (n). Он превосходит постоянные итерации A ^и (n), диагонализация A ⁿ (n), и даже постоянные итерации диагонализация, @A _и (n).

Обозначим @@ s (n) через B (n). B (n) = O (@A (n)).

Мы можем производить еще более быстрорастущие функции, диагонализуя процесс применение самого @: пусть @ ⁱ f обозначает i применения @ к f.Это сказать:

@ ¹ f (n) = @f (n)
@ ^{i + 1} f (n) = @ (@ ⁱ f) (n)

Затем мы можем сформировать функцию g (n) = @ ⁿ f (n). Эта функция будет превзойти все конечные применения @ к f. Если мы затем определим C (n) = @ ⁿ s (n), мы получаем функцию, которая превосходит все конечные приложения @ к функции Аккермана. Это эквивалентно говоря, что это выходит за рамки всех конечных применений @ к функции-преемнику s (n), поскольку @s (n) имеет эквивалентную скорость роста, что и A (n) — добавляя эквивалент еще одного применения @ не меняет того факта, что любой в конечном числе приложений @ будет преобладать C (n).

Теперь мы можем диагонализовать процесс диагонализации приложений @ к функция. Определяем:

#f ₁ (n) = @ ⁿ s (n)
#f _{i + 1} (n) = #f _i ⁿ (n)
#f (n) = #f _n (n)

Очевидно, этот процесс может продолжаться бесконечно: мы определяем новые функции и операторы над функциями, а затем операторы над операторами над функциями и т. д. Но чтобы сориентироваться в этом лесу, требуется какое-то центральное объединяющее понятие.

Трансфинитные порядковые числа

Теперь перейдем к предмету, который поначалу может показаться не связанным с тем, что мы обсуждали, но, как выяснилось, обеспечит центральную объединяющую понятие, которое мы ищем при построении все быстрее и быстрее растущих вычислимых функции.

Трансфинитные порядковые числа являются обобщением конечных порядковых чисел (во-первых, второй, третий,…), чтобы включить нескончаемые числа. Ниже приводится определение порядковых чисел фон Неймана:

Частично упорядоченное множество S с частичным порядком ≤ называется полностью заказал , если заданы любые два элемента T и U из S, T≤U или U≤T.Полностью упорядоченный набор — , хорошо упорядоченный , если все возможные подмножества имеет наименьший элемент в отношении порядка ≤.

Порядковый номер — это набор S, который полностью заказывается под набор отношение включения ⊆, и каждый элемент S также является подмножеством С.

Порядковый номер α согласно этому определению является хорошо упорядоченным (поскольку множество сдерживание хорошо организовано, Аксиома Foundation), и это как раз тот набор, который содержит все ординалы меньшего размера чем себя.Если α конечно, то ему соответствует натуральное число n, и определяется как количество содержащихся в нем элементов. Таким образом, пустое множество ∅ = 0, {0} = 1, {0,1} = 2, {0,1,2} = 3,… и так далее.

Набор натуральных чисел, который мы обозначим через ω, также является порядковый по этому определению, поскольку он содержит только ординалы (естественный чисел), и каждый элемент ω является подмножеством ω, а любой меньший элемент (при установленном отношении включения) также является элементом ω. Следовательно, ω — бесконечный (или трансфинитный ) ординал.Он находится в на самом деле, наименьший бесконечный ординал, поскольку он является супремумом всех (конечные) натуральные числа.

Одно из важнейших свойств порядковых чисел, давших любой набор ординалов, объединение всех ординалов в наборе также порядковый номер, и является супремумом набора: это максимальный порядковый номер в наборе, если набор ограничен, и это наименьший ординал, содержащий ординалы в наборе, если набор неограничен. Например, если α = {2,5,6} = {{0,1}, {0,1,2,3,4}, {0,1,2,3,4,5}}, тогда объединение все элементы в α равны {0,1,2,3,4,5}, что равно 6 по определение.

Порядковые номера преемников

Для любого ординала α можно составить множество β = α∪ {α}. Новый порядковый номер β называется преемником α, и обозначается α + 1. Например, 1 + 1 = {0} ∪ {{0}} = {0, {0}} = {0,1} = 2. Таким образом, мы можем определить операция-последователь s (α) = α∪ {α} для любого ординала α. Обратите внимание, что эта операция теперь применяется не только к натуральным числам, но и к бесконечные ординалы типа ω: ω + 1 определяются как ω∪ {ω} = {0,1,2,3,… ω}.

Мы говорим, что порядковый номер α является порядковым номером преемника , если существует существует ординал β такой, что α = β + 1. Если нет такого β, то мы говорим, что α — предельный ординал . Другими словами, предельный порядковый номер — это порядковый номер, который не может быть получен из предыдущих порядковых номеров с помощью повторные применения функции-преемника s. Ноль такой предел порядковый, потому что перед нулем нет порядковых. Бесконечный порядковый ω — еще один предельный ординал: он не может быть получен из любого конечного ординала. повторными применениями с. Это может быть достигнуто только « fiat », взяв объединение всех натуральных чисел.

Порядковое добавление

Теперь мы можем определить итеративную операцию-преемник:

с ⁰ (α) = α
с ^{i + 1} (α) = s (с ⁱ (α))

Должно быть очевидно, что s ⁱ (α) = α + i. В его нынешнем виде это определение работает только для конечных ординалов i, но можно определить это также для трансфинита i. Мы просто расширили определение, включив в него то, что происходит при предельных порядковых номерах:

Обозначение ∪ _{γ <β} s ^γ (α) означает совокупность всех ординалов, заданных как s ^γ (α), для все ординалы γ <β.Как мы упоминали ранее, объединение любого набора of ordinals также является порядковым номером, поэтому это гарантирует, что наш повторный преемник функция всегда создает порядковый номер.

Это определение повторяющейся операции-преемника позволяет нам определить порядковое сложение для любых двух порядковых чисел α и β:

α + β = с ^β (α)

Обратите внимание, что, как правило, порядковое сложение не коммутативное : α + β — это , а не , равное β + α в целом. Это в отличие от сложения конечных чисел.

Умножение порядковых чисел

Повторяя операцию сложения, которую мы определили для порядковых чисел, мы может определять порядковое умножение:

Из этого определения легко увидеть, что a ⁿ (α) = α + α +… + α (n раз) для конечного n.Это также работает для трансфинитного n, такого как ω: a ^ω (α) является просто супремумом α⋅1, α⋅2, α⋅3, …. Следовательно, мы можем определить порядковое умножение так:

α⋅β = а ^β (α)

Порядковое возведение в степень

Порядковое возведение в степень можно построить аналогичным образом, повторяя порядковое умножение. Определение практически идентично:

Легко видеть, что m ^β (α) просто α умножается на себя в β раз; следовательно, мы можем определить порядковое возведение в степень как:

α ^β = м ^β (α)

За пределами порядкового возведения в степень

Теперь может возникнуть соблазн предположить, что мы можем определить порядковое тетрирование следующим образом: повторение порядкового возведения в степень, точно так же, как мы построили конечную тетрацию из конечное возведение в степень по итерации.Мы можем — но только до ω.

Чтобы понять, почему это так, рассмотрим последовательность ω, ω ^ω , ω ^{ω ω} , …. Мы можем ограничиться этим процессом, чтобы получить порядковый номер, который содержит все такие «энергетические башни» из ω конечной высоты. Это порядковый номер Кантора ε ₀ , который интуитивно соответствует к силовой башне бесконечной высоты. Мы можем думать об этом как о ω ⁽⁴⁾ ω, используя наши обозначения операций высшего порядка. До сих пор очень хорошо.

Теперь возникает вопрос, как определить ω ⁽⁴⁾ (ω + 1)?

Интуитивно говоря, знает , что это соответствует степени башня высотой ω + 1; но, к сожалению, этот не может быть определен в терминах повторяющихся экспонент.Причина в том, что возведение в степень неассоциативный: x ^{y z} не то же самое, что (x ^y ) ^z . Следовательно, учитывая силовую башню T = x ^{x … x} = x ⁽⁴⁾ n, T ^x равно , а не , равному x ⁽⁴⁾ (n + 1), но на самом деле намного меньше. Теперь — это , чтобы получить x ⁽⁴⁾ (n + 1), взяв x ^T вместо этого, и это то, что позволяет определить тетрацию в терминах повторяющихся экспонент конечной высоты .

Однако это не распространяется на трансфинитные ординалы: в общем, порядковые операции не коммутативны , поэтому ω ⁽⁴⁾ (ω + 1) ≠ ω ⁽⁴⁾ (1 + ω). В На самом деле 1 + ω = ω. Итак, если мы попытаемся определить ω ⁽⁴⁾ (ω + 1) = ω ^{ω (4) ω} , мы понимаем, что он по-прежнему равен ω ⁽⁴⁾ ω = ε ₀ . По факту, ε ₀ — это , определенное Кантором как как наименьший порядковый номер. такой, что ω ^{ε ₀} = ε ₀ .

Проблема здесь в том, что для опор трансфинитной высоты добавление одного больше ω к основанию башни не увеличивает ее. Нам нужно добавить следующий ω к вершине башни. Однако вершина башня недостижима арифметически — бесконечная башня ω ^{ω ω …} не имеет вершины!

Чтобы преодолеть эту проблему, нам нужно использовать другой подход.

Порядковые фиксированные точки

Фиксированная точка порядковой функции F — это порядковый номер α, такой что α = F (α).Например, рассмотрим s ‘(α) = 1 + α. (Примечание: это не то же самое, что функция-последователь s (α) = α + 1, которая имеет в ординалах нет неподвижных точек. Помните, что порядковая арифметика не коммутативен.) Если α конечно, то s ‘(α)> α. Однако если α = ω, тогда s ‘(α) = 1 + ω = ω = α. Следовательно, ω является неподвижной точкой s ‘. Фактически, каждый ординал после ω также является фиксированным точка s ‘. (Например, s ‘(ω + 1) = 1 + (ω + 1) = (1 + ω) + 1 = ω + 1.)

Аналогично рассмотрим a ‘(α) = ω + α. Для малых значений α, a ‘увеличивает его на ω: a’ (0) = ω, a ‘(1) = ω + 1, a ‘(2) = ω + 2, и даже a’ (ω) = ω + ω, и а ‘(ω + ω) = ω + ω + ω = ω⋅3.Если мы продолжим чтобы повторить ‘, мы в конечном итоге достигаем фиксированной точки: а ‘(ω⋅ω) = ω + ω⋅ω = ω⋅ω. После этого каждый ординал, больший ω⋅ω, будет неподвижной точкой а ‘.

Теперь рассмотрим m ‘(α) = ω⋅α. Для достаточно малых α, m ‘увеличивает его в ω раз. Например, m ‘(ω) = ω⋅ω, m ‘(ω⋅ω) = ω⋅ω⋅ω. В конце концов, мы находим что неподвижная точка m ‘равна ω ^ω . Здесь отметим, что не каждый порядковый номер после ω ^ω является фиксированной точкой m ‘; для Например, m ‘(ω ^ω +1) = ω⋅ (ω ^ω +1) = ω⋅ω ^ω + ω⋅1 = ω ^ω + ω ≠ ω ^ω .Фактически, следующий наименьший порядковый номер, являющийся фиксированной точкой m ‘, равен ω ^ω À2. Это потому, что m ‘(α + β) = ω⋅α + ω⋅β, поэтому для этого равняется α + β, оба α и β должны быть неподвижными точками m ‘. С ω ^ω — наименьшая фиксированная точка m ‘, следующая наименьшая фиксированная точка должна быть ω ^ω + ω ^ω = ω ^ω 2.

Обратите внимание, что для каждого из этих примеров есть несколько фиксированных точек, и что перечисление фиксированных точек позволяет нам пройти мимо порядкового номера, в котором функция «застряла» на.Теперь применим это к повторному порядковому возведению в степень в чтобы пройти ε ₀ .

Порядковый номер

Прежде всего, Кантор использовал фиксированные точки для определения своего ε-числа. Пусть e ‘(α) = ω ^α . потом ε _β определяется как β ‘фиксированная точка е ‘.

Мы уже видели ε ₀ , первую фиксированную точку e ‘, которую мы интуитивно идентифицируем как ω ⁽⁴⁾ ω. Теперь мы будем использовать ε-числа Кантора для определения порядковой тетрации за пределами ω ⁽⁴⁾ ω.

Вспомните, как мы пытались определить ω ⁽⁴⁾ (ω + 1), используя повторенное возведение в степень, но не смог пройти мимо ε ₀ . Интуитивно, , однако, мы «знаем», что ω ⁽⁴⁾ (ω + 1) это просто силовая башня высотой ω + 1. Если представить себе укладку каждого из в этой башне по прямой, получим трансфинитную последовательность ω, ω, ω,…, ω, где последний ω находится в ω’я позиция строки. Теперь заметьте, что если мы добавим еще один ω к слева от этой последовательности, , мы получаем ту же последовательность. Другими словами, ω ^{ω (4) (ω + 1)} = ω ⁽⁴⁾ (ω + 1). Значит, это должно быть одно из произведений Кантора. ε-числа. Но какой именно?

Рассмотрим ординалы вида ω ⁽⁴⁾ ω + α, где 0 <α <ω ⁽⁴⁾ ω. Четко, ω ^{ω (4) ω + α} = ω ^{ω (4) ω} ⋅ω ^α = ω ⁽⁴⁾ ω⋅ω ^α ≠ ω ⁽⁴⁾ ω. Аналогично для ординалов вида ω ⁽⁴⁾ ω⋅α, где 1 <α < ω ⁽⁴⁾ ω, имеем ω ^{ω (4) ω⋅α} = (ω ^{ω (4) ω} ) ^α = (ω ⁽⁴⁾ ω) ^α ≠ ω ⁽⁴⁾ ω⋅α.Более того, (ω ⁽⁴⁾ ω) ^α < ω ^{(ω (4) ω) α} для 1 < α <ω ⁽⁴⁾ ω.

Как правило, любой порядковый номер между ω ⁽⁴⁾ ω и ω ⁽⁴⁾ (ω + 1) — некоторая комбинация порядковых чисел с добавлением, умножение и возведение в степень, но ни одно из них не является фиксированной точкой е ‘.

Другими словами, ω ⁽⁴⁾ (ω + 1) является следующим наименьшим неподвижная точка е ‘. Это означает, что он должен быть равен ε ₁ .Следовательно, мы можем определить ω ⁽⁴⁾ (ω + 1) = ε ₁ .

Аналогичное рассуждение покажет, что после ω ⁽⁴⁾ (ω + 1), следующий наименьший порядковый номер, являющийся фиксированной точкой е ‘, должен быть ω ⁽⁴⁾ (ω + 2). А раз так, то должно быть равно ε ₂ .

Теперь картина ясна: ω ⁽⁴⁾ (ω + α) = ε _α . Обратите внимание, что при α ≥ ω⋅ω эта эквивалентность схлопывается до ε _α = ω ⁽⁴⁾ α. Итак, мы успешно определили порядковую тетрацию. с ω в качестве левого аргумента.

Порядковый номер

Вооружившись нашим определением порядковой тетрации, мы теперь рассмотрим, что происходит. если повторить тетрацию: ω ⁽⁴⁾ ω = ε ₀ , ω ⁽⁴⁾ ω ⁽⁴⁾ ω = ω ⁽⁵⁾ 3 = ε _{ε 0} , ω ⁽⁴⁾ ω ⁽⁴⁾ ω ⁽⁴⁾ ω = ω ⁽⁵⁾ 4 = ε _{ε ε 0} ,… и т. д. Итак, мы можем определить порядковый номер пятиконечного правого аргумента как:

ω ⁽⁵⁾ 1 = ω
ω ⁽⁵⁾ 2 = ε ₀
ω ⁽⁵⁾ (n + 1) = ε _{(ω ⁽⁵⁾ n)}

Если довести этот процесс до предела, получим η ₀ = ω ⁽⁵⁾ ω, который обладает свойством η ₀ = ε _{η 0} .Опять же, это свойство фиксированной точки. Это означает, что теперь мы можем перечислить неподвижные точки процесс ε-индексации, который по индукции позволяет определить порядковый номер Пентация произвольных правых аргументов. Другими словами, мы позволяем η _α как α’-я неподвижная точка ε-индексирования и определим ω ⁽⁵⁾ (2 + α) быть η _α . Дополнительный термин «2» нужен только для того, чтобы индексы хорошо выстраиваются при конечном α; как только мы доберемся до ω и дальше, это уже не актуально.

Иерархия Веблена

Мы могли бы продолжить таким образом определение операций более высокого порядка в Иерархия Гжегорчика для порядковых чисел, но мы могли бы также принять более надежную обозначение для перечисления этих функций с неподвижной точкой.Эти фиксированные точки функции порождают так называемую иерархию ординалов Веблена, которая, согласно наша схема определения порядковых операций с использованием фиксированных точек в конечном итоге верните нас в сферу быстрорастущих функций. Фактически, функции соответствующие ординалам в верхних слоях иерархии Веблена растут так быстро, что они далеко-далеко превосходят иерархию Гжегорчика, Аккермана функции, и практически все очевидные попытки обойти Функция Аккермана, включая наши предыдущие попытки определить операторы на функции и операторы над операторами над функциями и т. д..

Сначала определим функцию ψ, которая будет нумеровать ординалы в иерархии Веблена. Мы примем несколько иное определение, чем обозначение φ, обычно используемое для иерархии Веблена. Несмотря на начальные проявления, это обозначение фактически эквивалентно по выразительной силе к обозначению φ, как только мы дойдем до ψ _ω и далее. Мы принять эти обозначения, чтобы в дальнейшем было удобнее определять Функция взрывающегося дерева , которая будет функциональным эквивалентом порядковый номер Фефермана-Шютте Γ ₀ .Но сначала определение:

Кредиты

Эта страница была вдохновлена ​​различными онлайн-ресурсами о больших, конечных естественных номера, в том числе следующие:

• Большой Числа Роба Мунафо
• Бесконечность Скребки Джонатана Бауэрса (может быть легче понять о чем именно говорит Бауэрс, если вы читаете о линейный массив сначала обозначение, а затем последующие страницы, которые идут в размерные массивы и не только. 18)

  Хорошо, это было неплохо, но вы быстро обнаружите, что это очень быстро выходит из-под контроля…

  Мы могли бы попробовать добавить еще несколько аргументов, пока мы находимся:

    def f (a, b = a, c = a, d = a, e = a, g = a, h = a, i = a, j = a, k = a, l = a, m = a , n = a, o = a, p = a, q = a) a.times {a ** = q> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j, k , l, m, n, o, p, q-1): p> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p-1): o> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j, k, l, m, n, o-1): n> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j, k, l, m, n-1): m> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j , k, l, m-1): l> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j, k, l-1): k> 0? f (a, b , c, d, e, g, h, i, j, k-1): j> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j-1): i> 0 ? f (a, b, c, d, e, g, h, i-1): h> 0? f (a, b, c, d, e, g, h-1): g> 0? f (a, b, c, d, e, g-1): e> 0? f (a, b, c, d, e-1): d> 0? f (a, b, c, d-1 ): c> 0? f (a, b, c-1): b <0? a: f (a, b-1)} && a конец
    

  Только функция: https: // repl.it / Hvr5 / 58

  Функция с вводом: https://repl.it/Hvr5/59

  Это колоссальные 494 символа (включая пробелы), но если вы посмотрите на код ... он просто ... действительно повторяющийся ... ничего нового по сравнению с приведенным выше. Здесь можно определить эту функцию для произвольного количества аргументов ... что уступает место совершенно новой схеме того, что вы можете делать ...

  ---

  А для экономии места можно включить половину переменной, воспользовавшись отрицательными числами.Например, если второй аргумент отрицательный, замените его первым аргументом. Если второй аргумент равен нулю, выполните обычный базовый случай. Если второй аргумент больше нуля, сделайте обычный случай.

    def f (a, b = -a, c = a, d = a, e = a, g = a, h = a, i = a, j = a, k = a, l = a, m = a, n = a, o = a, p = a, q = a) a. раз {a ** = q> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q-1): p> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j, k, l, m, n, o , p-1): o> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j, k, l, m, n, o-1): n> 0? f (a , b, c, d, e, g, h, i, j, k, l, m, n-1): m> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j, k, l, m-1): l> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j, k, l-1): k> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j, k-1): j> 0? f (a, b, c, d, e, g, h, i, j-1): i> 0? F (a, b, c, d, e, g, h, i-1): h> 0? F (a, b, c, d, e, g, h-1): g> 0? f (a, b, c, d, e, g-1): e> 0? f (a, b, c, d, e-1): d> 0? f (a, b, c, d- 1): c> 0? F (a, b, c-1): b <0? F (a, a): b <1? A: f (a, b-1)} && a конец
    

  Только функция: https: // repl. \ omega \ omega, 0) $.Мы можем показать, что это нижняя граница длины, продемонстрировав линейное расширение с этим типом порядка. Обратите внимание на следующий порядок:

  Для заданных корневых деревьев $ \ omega $ $ S $ и $ T $ индуктивно используйте следующие правила по порядку:

  1. Определите дочернее поддерево дерева $ T $ как полное поддерево, корень которого является потомком корня $ T $. Если $ S $ меньше или идентично дочернему поддереву $ T $, тогда $ S

  2. В противном случае, если корень $ S $ имеет более крупную метку, чем корень $ T $, тогда $ S> T $. Если у корня $ T $ метка больше, чем у корня $ S $, то $ T> S $.

  3. В противном случае, если у корня $ S $ больше детей, чем у $ T $, тогда $ S> T $. Если у корня $ T $ больше детей, чем у $ S $, $ T> S $.

  4. В противном случае сравните потомков корня $ S $ с потомками корня $ T $, начиная с наименьшего (используя этот порядок), затем со второго наименьшего и т. Д.\ omega \ omega, 0)} (n) $ в быстрорастущей иерархии.

     Нижняя граница снова проще. Сначала, учитывая дерево $ T $ и неотрицательное целое число $ n $, определите конечную последовательность деревьев $ S (T, n) _i $, начиная с $ i = n $, установив $ T_n = T $ и определив $ T_ {i + 1} $ - наибольшее дерево меньше $ T_i $ (с использованием указанного выше порядка) с не более чем $ i + 1 $ вершинами. Поскольку приведенный выше порядок является правильным, последовательность достигает корневого дерева после некоторого конечного числа шагов, и на этом последовательность заканчивается.

     Затем определите $ t (\ alpha) $ как дерево, которое соответствует порядковому номеру $ \ alpha $ в приведенном выше порядке деревьев, и пусть $ T_ \ alpha (n) $ будет индексом конечного дерева. в последовательности $ S (t (\ alpha), n) $. Тогда немедленно, что $ T_ \ alpha (n) $ удовлетворяет:

     $ T_0 (n) = n $

     Если $ t (\ alpha) $ имеет не более $ n + 1 $ вершин, $ T _ {\ alpha + 1} (n) = T_ \ alpha (n + 1) $

     Если $ \ alpha $ является пределом, то $ T_ \ alpha (n) = T _ {\ alpha [n + 1]} (n + 1) $, где $ \ alpha [n] $ определяется как порядковый номер такой что $ t (\ alpha [n]) $ - наибольшее дерево, меньшее, чем $ t (\ alpha) $, с не более чем $ n $ вершинами.\ omega \ omega, 0)} (n) $ в быстрорастущей иерархии.

     Список функций | Googology Wiki

     На этой странице перечислены различные гугологические функции, упорядоченные примерно по темпам роста. Они сгруппированы примерно в зависимости от того, какие теории должны доказать, что они полностью рекурсивны, а отдельные функции также сравниваются с быстрорастущей иерархией.

     • \ (\ приблизительно \) означает, что две функции имеют «сопоставимые» темпы роста в некотором нефиксированном смысле.
     • \ (> \) означает, что одна функция значительно перерастает другую.
     • \ (\ geq \) означает, что точно неизвестно, перерастает ли одна функция другую или нет.
     • (предел) означает, что функция имеет много аргументов, и скорость роста определяется путем диагонализации по ним.

     Будьте осторожны, чтобы для вычислимых функций A и B, даже если самая слабая теория среди тех, которые, как известно, доказывают совокупность B, может доказать совокупность A, B не обязательно в конечном итоге доминирует над A. Точно так же невычислимость функция не означает, что она в конечном итоге доминирует над всеми полными вычислимыми функциями.(Можно создать невычислимую функцию, которая выводит только 0 или 1.) Другими словами, порядок этого списка не означает порядок скорости роста.

     Примитивная рекурсивная

     Все эти функции являются примитивно рекурсивными и могут быть доказаны полностью в рамках примитивно-рекурсивной арифметики (PRA).

     RCA

     ₀

     Совокупность этих функций не может быть доказана в RCA ₀ (см. Арифметику второго порядка), и в конечном итоге они доминируют над всеми примитивными рекурсивными функциями.

     • Слабая функция Гудштейна \ (g (n) \ приблизительно f_ \ omega (n) \)
     • | T [k] | функция (задача с конечным упорядоченным деревом) \ (| T [n] | \ приблизительно f_ \ omega (n) \)
     • Функция Аккермана \ (A (n, n) \ приблизительно f_ \ omega (n) \)
     • Booga- \ (booga (n) \ приблизительно f_ \ omega (n) \)
     • Задача о мифическом дереве \ (\ приблизительно f_ \ omega (n) \) (limit)
     • Задача редукции вектора Фридмана \ (\ приблизительно f_ \ omega (n) \) (предел)
     • Последовательность Давенпорта-Шинцеля \ (\ приблизительно f_ \ omega (n) \) (предел)
     • Обозначение стрелки (оба варианта) \ (a \ uparrow ^ {n} b \ приблизительно f_ \ omega (n) \) (предел)
     • Числа Аккермана \ (\ приблизительно f_ \ omega (n) \), предел гипероператоров в целом
     • Функция Судана \ (F_n (x, y) \ приблизительно f_ \ omega (n) \) (limit)
     • Обозначение Штейнгауза-Мозера \ (\ приблизительно f_ \ omega (n) \) (предел)
     • H * функция \ (H ^ * (\ underbrace {n, n, \ cdots n, n} _n) \ приблизительно f_ \ omega (n) \) (предел)
     • Обозначение деформации \ (\ приблизительно f_ \ omega (n) \) (предел)
     • Обозначение Hyper-E \ (E \ # \ приблизительно f_ \ omega (n) \) (предел)
     • Пси Обозначение \ (\ приблизительно f_ \ omega (n) \) (предел)
     • Функция Грэма \ (g_n \ приблизительно f _ {\ omega + 1} (n) \)
     • Mag \ (\ text {mag} (n) \ приблизительно f _ {\ omega + 1} (n) \)
     • Троога- \ (\ text {trooga} (n) \ приблизительно f _ {\ omega + 1} (n) \)
     • Взрывающаяся функция дерева \ (E (n) \ приблизительно f _ {\ omega + 1} (n) \)
     • Расширение \ (a \ {\ {1 \} \} b \ приблизительно f _ {\ omega + 1} (n) \)
     • Сверхликая функция \ (h_n (\ underbrace {n, n, \ cdots n, n} _n) \ приблизительно f _ {\ omega + 1} (n) \) (предел)
     • Множественное расширение \ (a \ {\ {2 \} \} b \ приблизительно f _ {\ omega + 2} (n) \)
     • Смешанный факториал \ (n ^ * _ {(n, n)} \ приблизительно f _ {\ omega + 2} (n) \)
     • Расширение мощности \ (a \ {\ {3 \} \} b \ приблизительно f _ {\ omega + 3} (n) \)
     • Expandotetration \ (a \ {\ {4 \} \} b \ приблизительно f _ {\ omega + 4} (n) \)
     • -ag \ (n \ text {-ag} (n) \ приблизительно f _ {\ omega 2} (n) \)
     • Взрыв \ (a \ {\ {\ {1 \} \} \} b \ приблизительно f _ {\ omega 2 + 1} (n) \)
     • Множественный взрыв \ (a \ {\ {\ {2 \} \} \} b \ приблизительно f _ {\ omega 2 + 2} (n) \)
     • Мощность взрыва \ (a \ {\ {\ {3 \} \} \} b \ приблизительно f _ {\ omega 2 + 3} (n) \)
     • Эксплуатация \ (a \ {\ {\ {4 \} \} \} b \ приблизительно f _ {\ omega 2 + 4} (n) \)
     • Копировать обозначение \ (\ приблизительно f _ {\ omega3} (n) \) (предел)
     • Детонация \ (\ {a, b, 1,4 \} \ приблизительно f _ {\ omega 3 + 1} (n) \)
     • Пентонация \ (\ {a, b, 1,5 \} \ приблизительно f _ {\ omega 4 + 1} (n) \)
     • Гексонация \ (\ {a, b, 1,6 \} \ приблизительно f _ {\ omega 5 + 1} (n) \)
     • Гептонация \ (\ {a, b, 1,7 \} \ приблизительно f _ {\ omega 6 + 1} (n) \)
     • Octonation \ (\ {a, b, 1,8 \} \ приблизительно f _ {\ omega 7 + 1} (n) \)
     • Эннонация \ (\ {a, b, 1,9 \} \ приблизительно f _ {\ omega 8 + 1} (n) \)
     • Деконация \ (\ {a, b, 1,10 \} \ приблизительно f _ {\ omega 9 + 1} (n) \)
     • CG-функция \ (cg (n) \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2} (n) \)
     • Расширенная функция H * \ (H ^ * _ n (\ underbrace {n, n, \ cdots n, n} _n) \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2} (n) \) (предел)
     • Megotion \ (\ {a, b, 1,1,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2 + 1} (n) \)
     • BOX_M̃ function \ (\ widetilde {M} _n \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2 + 1} (n) \)
     • Мультимегация \ (\ {a, b, 2,1,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2 + 2} (n) \)
     • Powermegotion \ (\ {a, b, 3,1,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2 + 3} (n) \)
     • Меготетрация \ (\ {a, b, 4,1,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2 + 4} (n) \)
     • Мегорасширение \ (\ {a, b, 1,2,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2 + \ omega + 1} (n) \)
     • Мультимегорасширение \ (\ {a, b, 2,2,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2 + \ omega + 2} (n) \)
     • Расширение Powermego \ (\ {a, b, 3,2,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2 + \ omega + 3} (n) \)
     • Мегораспространение \ (\ {a, b, 4,2,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2 + \ omega + 4} (n) \)
     • Меговзрыв \ (\ {a, b, 1,3,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2 + \ omega 2 + 1} (n) \)
     • Мегодетонация \ (\ {a, b, 1,4,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 2 + \ omega 3 + 1} (n) \)
     • Gigotion \ (\ {a, b, 1,1,3 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 2 + 1} (n) \)
     • Гигорасширение \ (\ {a, b, 1,2,3 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 2+ \ omega + 1} (n) \)
     • Гиговзрыв \ (\ {a, b, 1,3,3 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 2+ \ omega 2 + 1} (n) \)
     • Гигодетонация \ (\ {a, b, 1,4,3 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 2+ \ omega 3 + 1} (n) \)
     • Terotion \ (\ {a, b, 1,1,4 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 3 + 1} (n) \)
     • Петотон \ (\ {a, b, 1,1,5 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 4 + 1} (n) \)
     • Hatotion \ (\ {a, b, 1,1,6 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 5 + 1} (n) \)
     • Hepotion \ (\ {a, b, 1,1,7 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 6 + 1} (n) \)
     • Ocotion \ (\ {a, b, 1,1,8 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 7 + 1} (n) \)
     • Nanotion \ (\ {a, b, 1,1,9 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 8 + 1} (n) \)
     • Uzotion \ (\ {a, b, 1,1,10 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 9 + 1} (n) \)
     • Uuotion \ (\ {a, b, 1,1,11 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 10 + 1} (n) \)
     • Udotion \ (\ {a, b, 1,1,12 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 11 + 1} (n) \)
     • Утверждение \ (\ {a, b, 1,1,13 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 12 + 1} (n) \)
     • Ueotion \ (\ {a, b, 1,1,14 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 13 + 1} (n) \)
     • Высота \ (\ {a, b, 1,1,15 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 14 + 1} (n) \)
     • Uhotion \ (\ {a, b, 1,1,16 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 15 + 1} (n) \)
     • Uaotion \ (\ {a, b, 1,1,17 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 16 + 1} (n) \)
     • Uootion \ (\ {a, b, 1,1,18 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 17 + 1} (n) \)
     • Unotion \ (\ {a, b, 1,1,19 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 18 + 1} (n) \)
     • Дзотион \ (\ {a, b, 1,1,20 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 19 + 1} (n) \)
     • Цотион \ (\ {a, b, 1,1,30 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 29 + 1} (n) \)
     • Uzzotion \ (\ {a, b, 1,1,100 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 2) 99 + 1} (n) \)
     • Powiaination \ (\ {a, b, 1,1,1,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 3 + 1} (n) \)
     • Multiaination \ (\ {a, b, 2,1,1,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 3 + 2} (n) \)
     • C-функция Херфорда \ (C (n) \ приблизительно f _ {\ omega ^ 3 + \ omega} (n) \)
     • Расширение \ (\ {a, b, 1,2,1,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 3 + \ omega + 1} (n) \)
     • Megodaination \ (\ {a, b, 1,1,2,2 \} \ приблизительно f _ {\ omega ^ 3 + \ omega ^ 2 + 1} (n) \)
     • Powiairiation \ (\ {a, b, 1,1,1,3 \} \ приблизительно f _ {(\ omega ^ 3) 2 + 1} (n) \)
     • Обозначение связанного массива \ (n [\ underbrace {n, n, \ cdots n} _n] n \ приблизительно f _ {\ omega ^ 5} (n) \) (предел)

     PA

     Следующие функции в конечном итоге доминируют над всеми многорекурсивными функциями, но все еще доказуемо рекурсивны в арифметике Пеано (PA).\ omega}}} (n) \) (предел)

ATR